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Funciones vectoriales - Monografía



 
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Teoría de funciones. Función vectorial. Límites, continuidad. Derivadas. Regla cadena. Integrales. Movimiento sobre una curva. Aceleración. Cinemática



Funciones vectoriales



En la ciencia y  la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

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Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva  en el espacio es parametrizada  por 3 ecuaciones
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Una función vectorial se expresa como:
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Cuando t varia es posible imaginar   que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)

Ejercicios: 



1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial

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Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t
Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las  2 primeras ecuaciones,
Se ve que los puntos  de la curva están situados en el cilindro  circular
X2 + y2  = 4

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2.-  trazar la grafica  correspondiente a la función vectorial
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los  puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4
el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del  plano xy

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obtengo la función vectorial que describe la curva  c  de intersección  del plano y = 2 x y el paraboloide   z =  9 - x2 -y2

si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 - t2 - 4 t2 = 9 -5t2
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Calculo de funciones vectoriales



Limites y continuidad



La función fundamental de limite  de una función vectorial  se define en términos de los limites  de las funciones componentes
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 TEOREMA


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Derivadas de funciones vectoriales


La derivada de una función  vectorial r es

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Interpretación geométrica  de r’(t)



Si el vector r’t no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.

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Ejercicios:




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2.- obtener ecuaciones de  parametricas de la recta tangente   de la curva C cuyas  ecuaciones son parametricas son

x = t2   y = t2 - t   z = -7 t

en t =3

la función  vectorial que indica  posición de un punto p  de la curva es

r(t) = r2 i + (t2 -t )j - 7 tk

r’t = 2 ti + (2t -1)j -7k
r’(3) = 6i + 5j -7k.

Que es tangente  a C  en el punto  cuyo vector  de posición  es

r’(3)= 9i +6j -21k

esto es, p(9,6,-21). Empleando las componentes de r’(3), vemos que

x =9 + 6t         y =6 +5t z = -21 -7t

son ecuaciones parametricas de la recta tangente.

Derivadas de orden



Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función  vectorial se obtiene también diferenciando  sus componentes. En el caso de la segunda derivada  tenemos r'’ = f'’(t)i + g'’(t)j + h'’(t)k.
Ejemplo:

r(t) = (t3 - 2t2 )i + 4tj + e-tk ,
r’(t) = (3t2 -4t)i + 4j - e-tk
r'’(t) = ( 6t -4)i + e-tk

regla de cadena



si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto  a t es

dr/dt = dr/ds  ds/dt = r’(s) u’ (t)
Ejemplo:
Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk, en donde s = t4 , entonces

integrales de funciones vectoriales



si f, g y h son integrables, entonces  las integrales indefinida y  definida de una función  vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k  se definen respectivamente por:

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Movimiento sobre una curva



Velocidad y aceleración


Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C, y que su posición en ella esta dada por la función vectorial

R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k

En donde t representa el tiempo. Si f, g y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores

V(t) = r’(t)= f’(t) + g’(t)j + h’(t)k
a(t)  =r'’(t) =f'’(t)i + g'’(t)j  + h'’(t)k
se llaman velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. La

función escalar  v(t) =  dr/dt  = (dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2
la longitud esta relacionada con la  longitud de arco s mediante s’(t) = v(t)

s =    v(t)  dt

Ejemplo1:

La posición de una partícula  óvil esta dada por

V(t)= t2i +tj + 5/2 tk
Trazar la trayectoria y los vectores v(2) y a(2).

Como x = t2 , y = t , la trayectoria de la particula se encuentra por arriba de la  x = y2. cuando  t =2 el vector de posición r(2) = 4i + 2j + 5k indica que  la particula esta en el punto p(4,2,5).

V(t) = r’(t) = 2ti + j + 5 /2 k

A(t) =  r'’(t)=2i

V(2) = 4i +j +5/ 2 k             a(2)= 2i

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Aceleración centrípeta


El vector   aceleración  a(t) = r'’ (t) apunta  en la dirección opuesta a la del vector de posición r(t).
Entonces a (t) es una aceleración centrípeta

Si v =  v(t)  y a = a(t)  demostrar que a = v2 / r0.

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Movimiento curvilíneo en el plano


La aceleración de la gravedad expresada en forma vectorial  es:

a(t) = -gj

si un proyectil se lanza con una velocidad inicial

vo =vo cos    i + vo sen  j, desde una altura inicial
so = so j , entonces
v(t) =   (-g j) dt = -gtj + c1

Ejercicios:

r(t) es el vector de posición de una partícula móvil
calcule la rapidez

1.- r(t) = t2 i + ¼ t4j; t = 1

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Componentes de la aceleración curvatura



Vector tangente unitario y vector normal unitario principal


sea C una curva en el espacio  descrita por r(t) = f(t) + g(t) +H(t)k, en donde f  g y h tienen segundas derivadas.

Vector tangente unitario

T = r’ (t) /  r´(t)

Vector binormal unitario
Vector  unitario definido mediante

B = T X N

Los tres vectores unitarios  T,N,B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil

Radio de curvatura



El reciproco de la curvatura , p = 1/k se llama radio de curvatura.
El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.

Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada.
Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.
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Autor:

Adri





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