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Función Cúbica - Monografía



 
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Funciones polinómicas de tercer grado y algebraicas. Dominios. Conjuntos. Notación funcional. Gráficas



INTRODUCCIÓN



El presente trabajo denominado función cúbica tiene por objetivo el mostrar que las funciones  tienen mucha ingerencia en la vida cotidiana por lo general este tipo de funciones se encuentran dentro del tipo de funciones polinómicas motivo por el cual no es un tema  muy tradicional como las funciones cuadráticas o las lineales o trigonométricas.
En una primera parte trataremos de definir de donde el origen de las funciones y de mostrar una pequeña clasificación que nos permitirá a nosotros saber en que parte nos ubicamos después veremos nuestro tema en si que es la función al cubo lo cual detallaremos con ejemplos ilustrativos que nos permitirá  comprender mejor nuestro tema  asi como también el hecho de conocer algunos casos aplicativos.
Cabe destacar que las funciones son modelos matemáticos con lo cual Un fabricante desea conocer la relación o correspondencia entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción, un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psicólogo quisiera conocer la relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras, un químico le interesa la relación o correspondencia entre la velocidad inicial de una reacción química y la cantidad de sustrato utilizado, a un comerciante la relación o correspondencia entre cada artículo de un estante con su precio, etc. En cada caso la pregunta es la misma:¿cómo depende una cantidad de otra?. Esta dependencia entre dos cantidades es la correspondencia entre diversos tipos de fenómenos y se describe convenientemente en matemáticas mediante una función.

I.    FUNCIONES



Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido”.


1.-    FUNCIONES



Piéncese en una función como una pistola toma sus municiones de un conjunto llamado dominio y dispara sobre un conjunto como blanco. Cada bala le pega a un único blanco puntual, pero puede ocurrir que varias balas le peguen al mismo punto. Podemos, a la vez, establecer la definición con mayor finalidad e introducir alguna notación.

Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto “x” de una conjunto llamado “dominio” una valor único f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama “rango” de la función.

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El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de Cálculo y el rango en el conjunto de calificaciones A, B, C, D, F, que se dan, y la regla de correspondencia, el procedimiento que el maestro usa para asignar las calificaciones.
De mayor importancia en Cálculo serán aquellos ejemplos, en los que tanto el dominio como el rango consistía en un conjunto de números reales. La función “A”, podría tomar un número real “x” y elevarlo al cuadrado para producir el número real x2. En este caso, tenemos una fórmula que da la regla de correspondencia, en concreto:
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2.-    NOTACIÓN  FUNCIONAL.


Se usa una sola letra como F(ó g ó f ) para determinar una función ,entonces F(x), que se lee “F de x” o ” F en x”, designa el valor que “F” asigna a X . Por lo tanto si

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Ejemplo: Para   101077.gif , encuentre y simplifique:

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Solución:

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3.-    CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES


La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII.  Mención especial merece Leonhard Euler,  a quien debemos la notación  y = f (x).   Hacia el final del siglo XVIII,  los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de fenomenos de la vida real podrían representarse emdiante modelos matemáticos consturidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales.  Las funciones elementales se distribuyen de la siguiente manera:
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4.-    FUNCIONES ALGEBRAICAS


Lo que sigue, como lo anterior, referente a la representación gráfica de funciones sólo es una introducción al tema. La gráfica de algunas funciones presentan caracteristicas especiales que para su estudio se requiere del Cálculo. Tales características son, por ejemplo, las asíntotas horizontales y verticales (se deducen a partir de límites); determinar los intervalos donde la gráfica de la función es decreciente y dónde es creciente (cálculo diferencial); precisar en qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo, hallar los puntos de inflexión (puntos donde ocurre el cambio de concavidad) (cálculo diferencial); máximos y mínimos; etc. El estudio de estos temas seran estudiados seguramente mas adelante en nuestro curso, o tal vez sean muy no tengan mucha inferencia con nuestra carrera.

Funciones algebraicas:



Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad,  f (x)= x, y a la función constante,  f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

5.-     FUNCIÓN POLINOMIAL:



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El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.

Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).Es la más común  de las funciones algebráicas.  Es de la forma:
Grado cero:    f(x)=a                función constante
Grado uno:    f(x)=ax+b            función lineal
Grado dos:    f(x)=ax2+bx+c        función cuadrática
Grado tres:    f(x)=ax3+bx2+cx+d    función cúbica

EJEMPLOS:

- f(x) = -5
- g(x) = 8x - ½
- v(t) =  2t2 + 13t - 7
- h(x) = x3 - 4×2 +  3

6.-    FUNCIÓN POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL.



Definición.- Dado n  IN se define la potencia n-ésima de un número real x como el producto de n factores iguales a x:
xn=x.x. … n).x

Definición.- Dado n? N se define la función potencia n-ésima como la función real de variable real que a cada x le asigna xn.

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El cálculo con potencias tiene las siguientes propiedades:

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tanto una función estrictamente creciente en el intervalo [0,+? )   y por lo tanto es inyectiva de IR+ en IR+ . Como consecuencia de esta propiedad se tiene
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5    La función potencia n-ésima no está acotada superiormente, es decir dado cualquier número real M siempre existe x tal que xn>M, más concretamente

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6      La función potencia n-ésima es una función continua en IR

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6    La función potencia n-ésima tiene derivadas continuas de cualquier orden:
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Las funciones polinómicas son continuas e indefinidamente derivables en todo IR.
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II.    FUNCIÓN CÚBICA



Esta funcion es GENERALMENTE utilizada para relacionar VOLÚMENES en determinados espacio o tiempo. Asimismo podemos decir que algunos ejemplos practicos serian por ejemplo el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto.
Otro ejemplo característico podriamos decir que seria el hecho de relacionar los vientos o la energia eolica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración.  Esta funcion cubica se utiliza mas en el campo de la economia como de la física.


2.1    LA FUNCIÓN CÚBICA:



Esta funcion es mas conocida como la :


FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3



Se denomina función cúbica a toda función de la forma:
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donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2×2 + a3×3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura


2.2    PROPIEDADES:



- El dominio de la función es la recta real Â
- El recorrido de la función es. la recta real Â
- La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
- La función es continua en todo su dominio.
- La función es siempre creciente.
- La función no tiene asintotas.
- La función tiene un punto de corte con el eje Y.
- La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con l eje X.

X    -2    -1    0    1    2
Y    -8    -1    0    1    8

a continuacion mostraremos algunas graficas características de las funciones cúbicas y

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Ejemplos:

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F(x) = -x3 +8

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La gráfica  corresponde a la función:
y = x3- 3×2 + 3

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Modifica el parámetro d para observar como influye en la gráfica.
Al modificar el valor de d  la grafica se modica en funcion de la ubicación del punto de intersección con el eje Y ya sea si se aumenta este tiende a subir y si sew disminuye este tiende a bajar
¿Puede una función cúbica no tener ningún punto de corte con el eje OX?
Siempre la funcion cubica va ha tener por lo menos un punto de intersección con el eje de intersecion cn el eje x todo dependiendo de los valores de c y de b pues estos son los que determinan las curvas. Ademas que para el eje y solo va existir un punto de intersección con dicho eje.
Modifican do los parámetros a, b y c podemos observar como influye que  cada uno de ellos influye en la grafica de manera particular pues mientras que el parámetro a  determina el crecimiento de la grafica  el paremetro b y c determinan las curvas que esta pueda adoptar encontrando máximos y minimos en ese espacio determinado de la  gráfica:

De las siguientes  gráficas que eran de los siguientes tipos:

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Tipos de gráficas producidas por los estudiantes



Tipos de gráficas 



En estas gráficas se aprecia una clara tendencia a dibujar las funciones cúbicas como si estas funciones tuvieran un dominio restringido, no pudieran cortar el eje Y, cuando se encuentra suficientemente ale- jadas de él y a tener un conjunto de asíntotas verticales.
Una de las principales conclusiones que sacamos de estos resultados es que la percepción que los estudiantes tienen de la función cúbica es esencialmente gráfica. Entonces dice que la funcion es evidente que su dominio son los números reales y que no es posible que tengan asíntotas verticales. Sin embargo, no encontramos este tipo de argumento en la corrección a la solución propuesta, ni en los comentarios a las afirmaciones o en las entrevistas informales que realizamos.

Autor:

Rafael Curro Cohaila





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