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Coordinadas polares - Monografía



 
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Cálculo integral. Eje polar. Gráficas. Ecuación rectangular. Pendiente. Recta tangente



INTRODUCCIÓN


En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas).  Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.

Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.


COORDENADAS POLARES



Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue.

r =distancia dirigida de 0a P
=ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P

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Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que pasan por el polo.

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Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que pasan por el polo.

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siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0, ),donde   es cualquier ángulo.

CAMBIO DE COORDENADAS



Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r =x + y . Ademas para r >0, la definición de las funciones trigonometricas implica que:
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Cambio de coordenadas



Las coordenadas polares (r,0 ) de un punto estan relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:

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Ejemplo1  Cambio de coordenadas polares a rectangulares.

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Ejemplo 2  Cambio de coordenadas rectangulares a polares

Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(-1,1)
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Dado que   se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor de r positivo.

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Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es 100726.gif

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GRAFICAS  EN  POLARES


Una forma de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la grafica de la ecuación rectangular.


Ejemplo 3   REPRESENTACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES



Describir la grafica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.
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Solución

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a)    La grafica de la ecuación polar r=2 esta formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la grafica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación  r = x + y  para obtener la ecuación rectangular.

x + y = 2              Ecuación rectangular.
b)    La grafica de la ecuación polar   100730.gifcontiene todos los puntos de la  semirrecta radial que forma un ángulo de

100731.gif con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg =100732.gifpara obtener la ecuación rectangular

100733.gif                     Ecuación rectangular.

c)    La grafica de la ecuación polar 100734.gif no es evidente por simple  inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular   usando la relacion 100735.gif

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Deducimos que la grafica es una recta vertical.

NOTA: Un método para representar a mano la grafica de r = 2 cos 3    consiste en confeccionar una tabla de valores.

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Extendiendo la tabla y marcando los puntos, se obtendrá la curva del ejemplo


Ejemplo  4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES



Representar la grafica de 100738.gif

Solución: Comenzamos por escribir la ecuación en forma parametrica.

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Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar   de 0 a  , si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar   de 0 a 2   lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.

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PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES



Para determinar la pendiente de una recta tangente a una grafica en polares, consideremos una funcion derivable 100742.gif. Para pasar a polares, utilizamos las ecuaciones

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Autor:

Luxd





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