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Cónicas - Monografía



 
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Geometría. Parábola. Antena parabólica. Circunferencia. Elipse. Hipérbola. Trayectorias caída Galileo. Espejo parabólico Arquímedes. Telescopio Newton



INTRODUCCION


Una superficie cónica de revolución es la superficie engendrada por una recta, llamada generatriz, que gira alrededor de otra fija, llamada eje, a la que corta en un punto. El punto de corte se llama vértice.

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La recta r, que gira alrededor de la recta e, a la que corta en el punto V, engendra  una superficie cónica de revolución.

Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano.

Podemos obtener cinco cónicas distintas según sea la posición del plano con respecto a la superficie cónica:

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I  Si el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica y no pasa por el vértice, la intersección es una CIRCUNFERENCIA.

II  Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas sus generatrices y no pasa por el vértice, la intersección es una curva cerrada que recibe el nombre de ELIPSE.

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III  Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica, la intersección de denomina HIPERBOLA, y es una curva que consta de dos partes, una en cada una de las hojas de la superficies cónica.

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IV  Si el plano secante es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una curva abierta denominada PARABOLA.

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V  Si el plano secante pasa por el vértice, la cónica se llama degenerada y puede ser un punto, una recta o un par de rectas concurrentes, según que el plano secante tenga menos, igual o más inclinación que las generatrices.

Cónicas



Apolonio de Perga era contemporáneo de Arquímedes (286 a. de J.C. - 212 a. de J.C.), aunque algo más joven que él. Vivió la mayor parte de su vida en Alejandría y se le recuerda como “el gran geómetra”.

Se preocupó de llevar a una perfección definitiva las matemáticas helénicas, especialmente la Geometría. Su obra fundamental son ocho famosos libros sobre las secciones cónicas que elevaron el estudio de las curvas de segundo grado a una perfección no superada durante siglos.

Al comenzar su libro, Apolonio demuestra que tanto la circunferencia como la elipse, la parábola o la hipérbola pueden determinarse al cortar un cono con planos de distinta inclinación (por ello estas curvas son llamadas Cónicas).

¿Cuál es el motivo principal de que las secciones cónicas ocupen un lugar tan importante entre todas las posibles curvas?

Muchos años más tarde se comprobó que las órbitas de los planetas y las trayectorias de los cuerpos pesados son curvas de este tipo. Pero esto no es todo.

La importancia fundamental de las cónicas reside en el aparato sensitivo del hombre mismo. Su capacidad de percepción depende principalmente del ojo. El hombre es, ante todo, una criatura que mira, y los rayos luminosos que penetran en el ojo o que de él parten en dirección contraria para construir la visión forman un cono (según las leyes de refracción y convergencia de una lente biconvexa).

Toda imagen de la realidad óptica, toda perspectiva, toda proyección, se presenta bajo forma de una sección cónica. Por tanto, no es exagerado calificar a nuestro mundo como “mundo de las secciones cónicas”.

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En lo referente a la trayectoria de los cuerpos pesados, fue Galileo Galilei quien, en 1589, con apenas 25 años y recién nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa, inició los experimentos.

Durante tres años, Galileo se dedicó a lanzar objetos desde lo alto de la famosa torre inclinada. Logró probar que la trayectoria de uno de esos proyectiles es una parábola y que su recorrido vertical es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde que fue lanzado.

Naturalmente, Galileo y sus contemporáneos no se contentaron con lanzar piedras desde lo alto de las torres o acantilados. Rápidamente demostraron que la trayectoria descrita por los proyectiles de los cañones también describía una parábola. Y así, Galileo, Tartaglia y otros se hicieron famosos calculando todas las posibles trayectorias de una bala, variando la cantidad de pólvora y el ángulo de tiro.

Una última propiedad importante de la parábola sembró terror entre las naves romanas que, en el año 214 a. de J.C., llevaban los 50.000 legionarios del cónsul Marco Claudio Marcelo a la conquista de Siracusa. Los aguerridos romanos, que no retrocedieron ni ante los elefantes de Aníbal, estuvieron a punto de ser derrotados por un viejo solitario de 72 años.

Arquímedes, ése era su nombre, sabía que si los rayos del sol incidían paralelos al eje de un espejo parabólico, éstos se reflejaban y convergían en un solo punto (llamado foco). Por esta razón se alcanzan en dicho punto elevadas temperaturas que permitían incendiar las naves atacantes.

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Hoy en día sigue usándose esta propiedad: es la base de los radares.

Newton construyó, basándose en la misma propiedad, un aparato menos “infernal” que el telescopio reflejante. Hizo construir un espejo parabólico parecido al de Arquímedes, pero en vez de dirigirlo al sol lo dirigió hacia las estrellas y la Luna. Todos los rayos de la luz que partían de un cuerpo celeste situado en la dirección del eje del espejo se concentraban, tras su reflexión, en el foco.

La imagen obtenida puede ser observada después de una reflexión de 45º y situado cerca del foco (que impide que la cabeza interrumpa los rayos de la luz de la estrella) o bien, tal y como ocurre en los telescopios modernos de este tipo, mediante un microscopio especial llamado “ocular del telescopio”.
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En cualquier automóvil moderno existen dos espejos parabólicos que, en vez de usarse para concentrar la luz que les llega (como ocurre con los espejos de Arquímedes o el telescopio de Newton), sirven para lo contrario: dispersar una luz muy intensa. Son los faros.

Simplificando su funcionamiento, diremos que están formados por una potente bombilla situada exactamente en el foco de un espejo parabólico. Los rayos de luz se reflejan en el espejo, pero, por ser éste parabólico, lo hacen paralelamente al eje (cuya dirección coincide con la del eje de simetría del vehículo).

Curiosidades



Lewis Carroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se construyó una mesa de billar de forma elíptica.
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En ella, si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y así, sucesivamente, hasta que se pare.

Una bola lanzada en una mesa de billar elíptica rebota como si se sustituyera la elipse por la recta tangente en ese punto. Si la lanzamos desde un foco, debido a esta propiedad, rebotará en la recta tangente dejando ángulos iguales y dirigiéndose, luego, al otro foco.

Este tipo de antenas tienen forma parabólica (como su nombre indica) y ello les confiere una característica muy interesante. Cualquier onda que rebote en la superficie de la antena irá a parar al foco, que en las antenas es un aparato encargado de recoger todas las ondas y enviarlas a nuestro televisor.
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Esta propiedad de la parábola también se utiliza en los faros de los coches, pero justamente al revés. En principio, una bombilla de un faro no alumbraría lo suficiente para poder conducir de noche con seguridad. Por lo tanto, se le ha dado a la superficie del faro una   sección parabólica, ya que de esta manera dispersará los rayos de la bombilla de forma suficiente para que pueda verse adecuadamente.

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Trazamos dos ejes perpendiculares y, a partir de su punto de intersección O (centro de la elipse), llevamos al eje horizontal los segmentos OA y OA’, ambos de longitud igual a a, y al vertical los segmentos OB Y OB’, de longitud igual a b.

Para determinar los focos, con centro en B y radio a, trazamos un arco que corta al eje horizontal en los puntos F y F’. Son los focos.

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En el eje mayor y entre F y F’, tomamos un punto cualquiera, M. Con centros en F y F’ y radio AM, trazamos arcos; de igual modo, con los mismos centros y radio A’M, trazamos otros arcos. Los puntos de intersección son puntos de la elipse.

Repitiendo esta operación, se van determinando nuevos puntos de la curva.
De la unión de todos ellos resulta la elipse.

Autor:

Begase





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