Análisis matemático. Función, funciones. Límites. Derivada. Máximos y mínimos. Optimización. Integración. Integral definida. Área de curvas
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Función: Es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y ); en donde todos los valores posibles de ” x ” se llama dominio de la función y todos los valores posibles de ” y ” se llama rango de la función.
Símbolo de función y = f ( x )
Se lee: ” y igual a f de x ”
” x “ es variable independiente.
” y “ es variable dependiente.
Ejemplo:
Y = f ( x ) = x 2 - 2 x
Encontrar Dominio de la función
Encontrar Rango de la función
x -2 -1 0 1 2 3
y 8 3 0 -1 0 3
y = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) = 4 + 4 = 8
y = ( -1 ) 2 - 2 ( -1 ) = 3
y = ( 0 ) 2 - 2 ( 0 ) = 0 - 0 = 0
y = ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) = 1 - 2 = -1
y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0
y = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 9 - 6 = 3
 
Operaciones con funciones
Dado y = f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 encontrar:
a) y = f ( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) -3 = 4 + 4 - 3 = 5
c) y = f ( 1 ) - f ( 2 ) = [ ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 3 ] [ ( -2 ) 2 - 2 ( -2 ) - 3 ] = [1-2-3]
[ 4 + 4 - 3 ] = [ -4 ] [ 5 ] = 20
d) y = f ( x + h ) = ( x + h ) 2 - 2 ( x + h ) - 3 = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 2h -3
e) y = f ( x + h ) = f ( x ) = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 3 - ( x 2 - 2 x - 3 )
= 2 x h + h 2 - 2 h
LIMITES
1) Lim. 3 x 2 - 2 x = 3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6 = 21
LIMITES
1) Lim. 3 x 2 - 2 x = 3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6 = 21
indeterminación por lo tanto se factoriza
 indeterminación
Multiplicar por su conjugado.
DERIVADA
La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.
Matemáticamente.
Símbolo de la derivada.
Ejemplo:
Derivar mediante de la definición
FORMULAS DE DERIVADAS
Ejemplos:
Derivar:
MÁXIMOS Y MINIMOS
Angulo entre dos curvas.
Ejemplo.
Hallar el ángulo entre las curvas.
x 2 - 6 x - y = -6
-2 x + y = - 7
igualar
Problemas de aplicación de máximos y mínimos.
Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas. ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen?
v ( x ) = ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x
v ( x ) = ( 10 - 2 x ) 2 x = ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x = 100 x - 40 x 2 + 4 x 3
v´( x ) = 100 - 80 x + 12 x 2 v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x
v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40
3 x 2 - 26 x + 25 = 0
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y LOGARÍTMICAS
1) y = sen v y´ = cos v v´
2) y = cos v y´ = - sen v v´
3) y = tan v y´ = sec 2 v v´
4) y = csc v y´ = - csc v cot v v´
5) y = sec v y´ = sec v tan v v
6) y = cot v y´ = - csc 2 v v
1) y = Ln v y´ = v´
v
2) y = e v y1 = e v * v 1
Ejemplos
Derivar
1) y = f ( x ) = cos x 2 - sen 3 x y 1 = - sen x 2 ( 2 x ) - cos 3 x ( 3 )
y 1 = - 2 x sen x 2 - 3 cos 3 x
2) y = f ( x ) = tan 2 x 2 + sec 3 x
y1 = f´( x ) = sec 2 2 x 2 4 x + sec 3 x tan 3 x ( 3 )
y1 = 4 x sec 2 2 x 2 + 3 sec 3 c tan 3 x
CALCULO INTEGRAL
FORMULAS
Ejemplos.
Hallar el area bajo la curva de la función.
1. y = f ( x ) = x 2 - 3 x
Autor: Dann Adventure
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