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Cálculo Integral parte 2 - Monografía



 
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- Centroides de áreas planas y sólidos de revolución



La masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante.

Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como concentrada en un punto, llamado su centro de masa ( o centro de gravedad). Para un cuerpo homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o  centroide. Por ejemplo, el centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide(su centro) de la bola como sólido geométrico (una esfera).

El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada coincide con su centroide considerada como área plana.

El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales.
El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la siguiente manera:
1.    Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante,
2.    Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
3.    Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

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El (primer) momento de un sólido de volumen V, generado al girar un área plana en torno a un eje de coordenadas, con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje, puede calcularse como sigue:

1.    Dibujar el área mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante.
2.    Multiplicar el volumen, disco o capa generado al girar el rectángulo en torno al eje por la distancia del centroide del rectángulo al plano y sumar para todos los rectángulos.
3.    Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

Cuando el área se gira en torno al eje x, el centroide   4969.gif está en el eje x. Si My z denota el momento del sólido con respecto al plano por el origen y es perpendicular al eje x, entonces:

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Análogamente, cuando el área se hace girar en torno al eje y, el centroide 4969.gif( ) está en el eje y. Si Mx z     es el momento del sólido con respecto al plano por el origen perpendicular al eje y, entonces:

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PRIMER TEOREMA DE PAPPUS



Si un área plana se hace girar en torno a un eje en su plano que no cruce a esa área, el volumen del sólido de revolución generado es igual al producto del área por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del área.
Ejemplo 6.2
Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.
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- Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución

Centroide de un arco



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SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS



Si un arco de curva se hace girar en torno a un eje situado en un su plano pero que no cruce al arco, el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud del arco por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del arco.

- Momentos de inercia de un arco



Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un fragmento de hilo fino homogéneo, por ejemplo) vienen dados por:
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- Centroides de una superficie de revolución


La coordenada 4975.gif  del centroide de una superficie de revolución generada al girar un arco AB de una curva en torno al eje x satisface la relación:
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- Momentos de inercia de una superficie de revolución



El momento de inercia con respecto al eje de rotación de la superficie generada al girar el arco AB de una curva en torno al eje x viene dado por:
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Ejemplo 6.3 


Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar el rectángulo de dimensiones a, b en torno a un eje que está a c unidades del centroide (c> ,b).
El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe un círculo de radio c. Entonces S = 2(a + b)(2 c)=4 (a + b)c por el segundo teorema de Pappus.
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VII Parte    Longitud de arco y superficies de revolución



- Longitud de un arco



La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2….,P n-1 B, que unos puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero.
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Si A(u = u1) y B(u = u2) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f (u), y = f(u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:
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Ejemplo 7.1 



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- Área de una superficie de revolución



El área de la superficie generada al girar el arco AB de una curva continua en torno a una recta de su plano es por definición el límite de la suma  de  las    áreas  generadas por las n cuerdas consecutivas AP1, P1, P2 …,P n -1 B que unen los puntos del arco, al girar en torno a dicha recta, cuando el número de cuerdas crece indefinidamente de manera tal que la longitud de cada una de ellas tiende a cero.
Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva  y = f(x), donde f(x) y f’(x) son continuas y f(x) no cambia de signo en el intervalo a   x   b, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por:
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Cuando, además, f’(x)   0 en el intervalo, una forma alternativa es:

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Si, A(a, c) y B(b, d)  son dos puntos de la curva x = g(y), donde g(y) y su derivada respecto de y satisfacen propiedades similares a las citadas en el párrafo anterior, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje y viene dada por:

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Si a(U = u1) y B(u=u2) son dos puntos de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = f(u), y = g(u) si se cumplen condiciones de continuidad, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por :

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y el área generada al girar el arco AB en torno al eje y por:

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Ejemplo 7.2
Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y2 + 4x = 2 ln y entre y = 1 e y = 3.
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Conclusión



Este trabajo nos sirvió para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la ingeniería primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.

Esto no quiere decir que sólo con la realización de este trabajo, sea entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que sólo  se lograría esto mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso.

Bibliografía


Matemáticas 6. Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. .
McGraw Hill, 1989. Bogotá , Colombia

Cálculo Diferencial e Integra Tercera Edición. Ayres,Jr., Frank, Mendelson, Elliot. McGraw Hill, 1991. Bogotá Colombia.

Análisis Matemático (Bilingüe Españo-Inglés). Protter, Murray H. ,
Morrey, Charles B. . Fondo Educativo Interamericano S.A., 1969. Estados Unidos.

Autor:

Chippsy





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