Análisis matemático. Integración, infinitesimal. Área entre curvas. Volumen: método discos y capas. Dinámica: trabajo y fuerza. Presión de un fluido
Introducción
Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.
Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:
- Las integrales definidas y
- El Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
I Parte Área de una región entre dos curvas
Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.
Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.
Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.
Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.
Aplicación
El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:
Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.
Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:
Por tanto, se ahorraron 4,58 miles de millones de barriles de gasolina, que a razón de 42 galones por barril supuso un ahorro de 0,2 billones de galones
II Parte Volumen método de discos
Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista Elemento Nueva fórmula
En precálculo Representativo de integración
Ejemplo 2.1
III Parte Métodos de capas
1. Mostrar en un gráfico al área cuestión, una franja representativa paralela al eje de revolución y el rectángulo aproximante.
2. Escribir el volumen (=circunferencia media x la altura x espesor) de la capa cilíndrica engendrada al girar el rectángulo aproximante en torno al eje de revolución, y sumar para n rectángulos.
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Si el eje de revolución es el eje y, y el área plana, en el primer cuadrante, está acotada abajo por el eje x , arriba por y = f(x), a la izquierda por x= a y a la derecha por x = b, entonces el volumen V viene dado por:
Análogamente, si el eje de rotación es el ejes x y el área plana, en el primer cuadrante, está limitada a la izquierda por el eje y, a la derecha por x = f(y), superiormente por y = d , e inferiormente por y = c, entonces el volumen V viene dado por:
Ejemplo 3.1
Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola
IV Parte Trabajo
Fuerza Constante
El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de una distancia s sobre una línea recta es de Fs unidades.
Fuerza Variable
Consideremos una fuerza que varía continuamente y actúa a lo largo de una línea recta. Sea x la distancia dirigida del punto de aplicación de la fuerza a un punto fijado de ka recta y sea la fuerza dada como una cierta función F(x) de x. Para hallar el trabajo realizado al moverse el punto de aplicación desde x = a hasta x = b.
Ejemplo 4.1
Un cable que pesa 3 libras/pie se está desenrollando de un tambor cilíndrico. Si hay 50 pies desenrollados, calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad para desenrollar otros 250 pies.
Sea x = longitud de cable desenrollada. Entonces F(x) = 3x y
V Parte Presión de un fluido y fuerza de un fluido
La presión se define como la fuerza por unidad de área:
La presión P sobre una superficie horizontal de área A debida a una columna de fluido de altura h que descansa sobre ella es P = wh, donde
w = peso del fluido por unidad de volumen. La fuerza sobre esa superficie es F = presión x área de la superficie = whA.
En cualquier punto en el interior de un fluid, este ejerce la misma presión en todas las direcciones.
FUERZA SOBRE UN ÁREA SUMERGIDA
La siguiente figura muestra un área plana sumergida verticalmente en un líquido de peso w libras por unidad de volumen. Tomemos el área en el plano xy, con el eje x en la superficie del líquido y el eje y positivo dirigido hacia abajo. Dividimos el área en franjas(siempre paralelas a la superficie del líquido) y aproximamos cada una con un
rectángulo.
Denotemos por h la profundidad del lado superior del rectángulo representativo de la figura. La fuerza ejercida sobre este rectángulo de anchura ky y longitud xk = g(yk) es wYkg(yk) ky, donde Yk es algún valor de y entre h y h + ky. La fuerza total sobre el área plana es, por :
Por lo tanto, la fuerza ejercida sobre un área plana sumergida verticalmente en un líquido es igual al producto del peso de una unidad de volumen del líquido por el área sumergida y por la profundidad del centroide del área que está bajo la superficie del líquido. Debe usarse esto, más bien que una fórmula, como a principio a la hora de establecer tales integrales.
Ejemplo 5.1
Hallar la fuerza sobre una cara del rectángulo sumergido en agua como indica el gráfico. El agua pesa 62.5 libras/pies2.
Superficie del agua
El área sumergida es de 16 pies2 y su centroide está 1 pie bajo el agua. Por tanto,
F = peso específico x área x profundidad del centroide
= 62.5 libras/pies2 x 16 pies2 x 1 pies = 100 pies
Parte VI Momentos , centroides y centro de masa
- Momentos de inercia de áreas planas y sólidos de revolución
El momento de inercia IL de un área plana A con respecto a una recta L en su plano se puede hallar como sigue:
1. Dibujar el área, mostrando una franja representativa paralela a la recta y el rectángulo aproximante.
2. Hacer el producto del área del rectángulo por el cuadrado de la distancia de su centroide a la recta y sumar para todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
El momento de inercia de un sólido de volumen V generado al girar un área plana en torno a una recta L en su plano, con respecto a la recta L, se puede calcular así:
1. Dibujar una franja representativa paralela al eje x y mostrar el rectángulo aproximante.
2. Hacer el producto del volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje (una capa) por el cuadrado de la distancia del centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
RADIO DE GIRO
El número positivo R definido por la relación IL = AR2 en el caso de un área plana A, y por IL = VR2 en el caso de un sólido de revolución, se llama radio de giro del área o volumen con respecto a L.
TEOREMA DEL EJE PARALELO
El momento de inercia de un área, arco o volumen con respecto a cualquier eje es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo que pase por el centroide más el producto del área, longitud de arco o volumen por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes paralelos.
Ejemplo 6.1
Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a y b con respecto a uno de sus lados.
Tomamos el rectángulo como en la siguiente gráfico, con el lado en cuestión sobre el eje y.
El rectángulo aproximante tiene área = b x y centroide (x,½b). Por tanto, su elemento de momento es x2b x.
Así pues, el momento de inercia de un área rectangular con respecto a un lados es un tercio del producto del área por el cuadrado de la longitud del otro lado.
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