El motivo por el cual conviene usar el ancho de clase como número impar es para que la marca de clase sea un número entero igual que los datos que se están estudiando. Si se utilizara un número par, el ancho de clase resulta con un decimal que habría que conservar hasta el final del cálculo y esto es fuente de errores.
Con estos datos procedemos a construir nuestro diagrama de frecuencias, el cual una vez finalizado tiene el siguiente diagrama:
Una vez obtenido este cuadro procedemos al recuento y anotamos la frecuencia:
Este cuadro es el diagrama de frecuencias obtenido de los 40 datos obtenidos como variables y agrupados convenientemente en clases, este recuento ya nos está informando de que es lo que pasa con esta variable.
2.5 Histograma:
El cuadro anterior puede llevarse a un gráfico como sigue, dando lugar al Histograma:
Son varios los medidores de la tendencia central y de la dispersión de una serie de datos experimentales, de ellos estudiaremos los dos más frecuentes y útiles en Control de Calidad, estos son : la Media Aritmética , medidor de la tendencia central, y la Desviación Típica, medidor de la dispersión de los datos alrededor de la Media Aritmética.
El desarrollo de las fórmulas es materia que se entrega durante el desarrollo de las clases.
3.1 Media aritmética
Mide la tendencia central.
Se define como Media Aritmética al valor central producto del siguiente cálculo:
de donde deriva:
Nota: El desarrollo de las Fórmulas se explica en clase o pueden consultarse:
a) en la obra del autor: Estadística para Ingenieros y Técnicos del Inacap.
b) en el libro de Estadística de Murray Spieguel.
3.2 Desviación típica
Mide la dispersión de los valores con respecto al valor central.
Se define como desviación típica al valor que surge del siguiente cálculo:
Esta fórmula puede derivarse mediante sencillos cálculos a esta otra:
Nota: El desarrollo de las Fórmulas se explica en clase o pueden consultarse:
a) en la obra del autor: Estadística para Ingenieros y Técnicos del Inacap.
b) en el libro de Estadística de Murray Spieguel.
3.3 Método de cálculo por compilación:
donde: c = 9 y A = 49
Media aritmética: 46,98 Desviación típica: 13.72
Este cálculo tiene un error como consecuencia de suponer a todos los datos dentro de cada clase como iguales.
Nota: Los decimales de las respuestas obtenidas, deberán guardar relación con los decimales que tengan los datos, sin embargo, cuando use las calculadoras deberá conservar en cada cálculo, todos los decimales que genera la calculadora, para luego aproximar la respuesta a la cantidad de decimales igual a los que tengan los datos, nunca menos. En particular en estos cálculos es costumbre usar uno o dos decimales más que los datos. Tampoco es correcto usar muchos decimales pues no tienen significado alguno.
3.4 Ejercicios prácticos en clases:
Mediante la extracción de datos de una urna normal se construye la correspondiente distribución de frecuencias, el histograma, se calcula la Media Aritmética y la Desviación Típica.
Se usarán dos métodos de cálculo, uno por medio de la calculadora y otro por medio de las fórmulas vistas en clases.
Nota: se exigirá un correcto manejo algebraico de números escritos de forma exponencial.
4 Distribución Continua, o Distribución Gaussiana, o Distribución Normal
4.1 Comprensión del concepto de distribución continua, Distribución Normal
Un histograma se construye a partir de un cierto número de datos. Pero ¿que le pasaría al histograma si continuamos aumentando el número de datos? Si el intervalo de clase se reduce poco a poco a medida que aumenta el número de datos, se obtiene una distribución de frecuencias continua, como límite de una distribución de frecuencia relativa. En realidad es una expresión de la población misma, puesto que se obtiene de un número infinito de datos.
Existen muchas clases de distribución, y una de las más frecuentes es la Distribución Normal. En muchos casos, cuando la variación de una característica de calidad es causada por la suma de un gran número de errores infinitesimales independientes debidos a diferentes factores, la distribución de la característica de calidad se aproxima a una distribución normal. La forma de la Distribución Normal puede describirse como la de una campana.
La siguiente figura muestra la forma de esta distribución:
4.2 Propiedades de la Distribución Normal
La curva característica queda determinada totalmente por dos parámetros:
Si bien en este curso no tenemos espacio para desarrollar el concepto de probabilidades, será necesario definir los siguientes puntos:
Un suceso es más o menos probable según la frecuencia con que ocurre. a mayor frecuencia de ocurrencia pasada será mayor la probabilidad de ocurrencia futura.
Los histogramas y los gráficos de frecuencia, también pueden interpretarse como gráficos de probabilidades de ocurrencia. En particular, la Campana de Gauss, o Curva Normal, es una función de probabilidades, y la superficie que se encierra debajo de la curva, y limitada por dos valores de x es directamente una medida de la probabilidad de ocurrencia de un suceso determinado.
Aceptando estos conceptos veremos como se puede hacer los cálculos partiendo de la Curva Normal. En primer término, la Curva Normal hay que transformarla en lo que se llama forma canónica, esto significa que el cero de las X irá al medio del gráfico. Para lograrlo se usa una variable llamada z y es:
Esta transformación hace que siempre el valor de la desviación típica, en una curva canónica, sea igual a uno, y el valor de z no es más que un dato medido en relación a su propia desviación. Esto hace que la curva tenga características muy particulares que veremos luego de los siguientes comentarios.
Esta variable depende de datos conocidos, es decir la media de la muestra y su desviación, por lo tanto para determinados valores de x, se hace el cálculo y las tablas dan la respuesta en términos de probabilidad de ocurrencia.
Este punto es muy importante pues de aquí parte todos los criterios de control del control de la calidad.
De todo esto se desprende lo siguiente:
La superficie, y por lo tanto la probabilidad de ocurrencia del suceso, vale:
68.27 % para una desviación típica a ambos lados del cero
95.45 % para dos desviaciones típicas a ambos lados del cero
99.73 % para tres desviaciones típicas a ambos lados del cero
Esto se aprecia en los siguientes gráficos:
4.3 Ejercicios de comprensión sobre la Distribución Normal.
Los siguientes ejercicios, tienen como objetivo aprender el uso de las tablas de Gauss.
Ejercicio nº 1
Hallar el área bajo la CURVA NORMAL en cada uno de los 7 casos siguientes:
a) Entre z = 0 y z = 1.20
De tablas leemos que para z = 1,2 es 0,3849, por lo tanto: Pr {0 z 1,2} = 0,3849 Esto significa que el área bajo la curva normal para z entre 0 y 1,2 es del 38.49%
b) Entre z = - 0.68 y z = 0
En tablas se lee para z = 0.68 es 0.2518 por lo tanto, Pr {-0,68 z 0} =0.2518 Esto significa que el área bajo la curva, para z= -0,68 y z=0 es el 25.18%
c) Entre z = - 0.46 y z 2.21
En tablas se lee que, para z = 0.46 es 0.1772 por lo tanto,
Pr {-0,46 z 0} =0.1772
Nótese que en la lectura se prescindió del signo menos.
Por otra parte, para z = 2.21 se lee 0.4864. lo cual significa :
Pr {0 z 2.21} =0.4864
Para encontrar el área total debemos sumar ambos resultados: 0.1772+0.4864 = 0.6636
Esto significa que el área bajo la curva, para z= - 0.46 y z=2.21 es del 66.36%
d) Entre z = 0.81 y z = 1.94
Para z = 0.81 es 0.2910 por lo tanto, Pr {0.81 z 0} =0.2910
Para z = 1.94 es 0.4738 esto es : Pr {0 z 1.94} =0.4738
Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos restar ambos resultados: 0.4738 - 0.2910 = 0.1828
Esto significa que el área bajo la curva, para z= 0.81 y z=1.94 es del 18.28%
e) A la izquierda de z = - 0.6, esto significa, entre z = - y z = - 0.6
Tener presente que desde z = - y z = 0 la superficie bajo el área es 0.5000 (50%)
Para z = 0.6 es 0.2258 por lo tanto, Pr {0.6 z 0} =0.225
Para z = - es 0.5000, esto es : Pr { - z 0} =0.5000
Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos restar ambos resultados: 0.5000 - 0.2258 = 0.2742
Esto significa que el área bajo la curva, para z = - y z=- 0.6 es del 27.42%
f) A la derecha de z - 1.28, esto es ,entre z = - 1.28 y z = +
Para z = 1.28 es 0.3997 por lo tanto, Pr {-1.28 z 0} = 0.3997. Para z = 0 y z= + es 0.5000, esto es : Pr {0 z + } = 0.5000. Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos sumar ambos resultados: 0.3997+0.5000 = 0.8997. Esto significa que el área bajo la curva, para z = -1.28 y z =+ es del 89.97%
g) A la derecha de z = 2.05, y a la izquierda de z = - 1.44
Área total bajo la curva = 1-(área entre-1.44 y 0) - (área entre 0 y 2.05)
1 - 0.4251 - 0.4798 = 0.0951, esto es 9.51%
Ejercicio nº 2
Este ejercicio ayuda a entender el uso de los procedimientos anteriores para el cálculo de las probabilidades en eventos reales.
Se recomienda al alumno dibujar las “campanas” e ir identificando las áreas escogidas.
Si los diámetros de las bolillas de rodamientos están normalmente distribuidas con media 0.6140 mm y desviación típica 0.0025 mm determinar el % con diámetro :
a) entre 0.6100 y 0.6180 mm
b) mayores que 0.6170 mm
c) menores que 0.6080 mm
Solución:
a) - z = (0.6100-0.6140) / 0.0025 = - 1.60
+ z = (0.6180-0.6140) / 0.0025 = + 1.60
Área solicitada = probabilidad buscada = 0.4452 + 0.4452 = 0.8904
La probabilidad de que el diámetro de las bolillas se encuentren entre 0.610 y 0.618 mm es del 89.04%
b) z = (0.6170 - 0.6140) / 0.0025 = 1.20
El área para z = 1,2 es 0.3849
El área solicitada es 0.5000 - 0.3849 = 0.1151
La probabilidad de que el diámetro de las bolillas sea mayor que 0.617 es del 11.51%
c) z= (0.6080-.6140) / 0.0025 = 2.40
Para z = 2.40 es 0.4918
El área buscada es 0.5000 - 0.4918 = 0.0082
Probabilidad = 0.82 %
Unidad 5, Los Diagramas
5.1 El Diagrama de Pareto
5.1.1 ¿Qué son los Diagramas de Pareto?
Los problemas de calidad se presentan como pérdidas. Es muy importante aclarar el patrón de la distribución de las pérdidas.
La mayoría de las pérdidas se deberán a unos pocos tipos de defectos, y estos defectos pueden atribuirse a un número muy pequeño de causas.
Si se identifican las causas de estos pocos defectos vitales, podremos eliminar casi todas las pérdidas, concentrándonos en esas causas particulares y dejando de lado otro muchos defectos triviales. El uso del diagrama de Pareto permite solucionar este tipo de problemas con eficacia.
Existen dos tipos de diagramas, los que analizan los efectos, y los que estudian las causas.
5.1.2 Como elaborar diagramas de Pareto
Paso 1 decida qué problemas se van a investigar y como recoger los datos.
ejemplo: objetos defectuosos, perdidas en términos monetarios, ocurrencia de accidentes.
Paso 2 decida qué datos va a necesitar y como clasificarlos.
ejemplo: por tipo de defecto, localización, proceso, máquina, trabajador, método.
Paso 3 defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la recolección.
Paso 4 diseñe una tabla para el recuento de los datos.
Paso 5 analice y vuelva a ordenar la información
Paso 6 construya el diagrama de barras.
Pocos vitales … muchos triviales….Pareto
En este ejemplo, producción tendrá que resolver, en primer término, las causas de los defectos tensión y rayado, con lo cual se reducirá el inconveniente en el 73% !
5.1.3 Ejercicio Práctico en clase:
Utilizando una urna con datos, se extrae una muestra y se elabora un diagrama de Pareto.
5.2 El diagrama Espina de Pescado, o de Ishikawa, o de
Causa y Efecto
5.2.1 ¿Que son los diagramas de Causa y Efecto:
Es un diagrama que muestra la relación entre una característica de calidad por la cual estamos interesados, (probablemente porque haya baja calidad en dicha característica) y los factores de los cuales depende (entre los cuales deberemos buscar las causas del problema de calidad)
En general, puede decirse que un proceso puede atribuirse a una cantidad de factores y es posible encontrar la relación Causa y Efecto de esos factores.
En las dos páginas siguientes se muestra como se “arma” el diagrama y a continuación hay un ejemplo muy pormenorizado acerca de las causas que pueden originar una derrota deportiva.
5.2.2. Cómo elaborar diagramas de causa y Efecto.
Procedimiento para elaborar los diagramas de Causa y Efecto para la identificación de causas.
Paso 1
Describa el efecto o atributo de calidad
Paso 2
Escoja una característica de calidad y escríbala en el lado derecho de una hoja de papel, dibuje de izquierda a derecha la línea de la espina dorsal y encierre la característica en un cuadrado.
Luego, escriba las causas primarias que afectan a la característica de calidad, en forma de grandes huesos, encerrados también en cuadrados.
Paso 3
Escriba las causas (causas secundarias) que afectan a los grandes huesos (causas primarias) como huesos medianos, y escriba las causas (causas terciarias) que afectan a los huesos medianos como huesos pequeños.
Paso 4
Asigne la importancia de cada factor, y marque los factores particularmente importantes que parecen tener un efecto significativo sobre la característica de calidad.
Paso 5
Registre cualquier información que pueda ser de utilidad.
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