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Circuitos - Monografía



 
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Electrónica. Diagramas de Bode. Respuesta frecuencial. Identificación vectorial. Desarrollo



Representación vectorial o fasorial de una función sinusoidal



1. INTRODUCCIÓN



En esta práctica se ha montado un circuito RLC formado por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie y alimentados por una fuente de tensión sinusoidal, tal como muestra la figura:

8603.gif

 1.1.     REPRESENTACIÓN VECTORIAL O FASORIAL DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL



Se denomina versor a todo vector unitario que gira alrededor del origen de coordenadas, en sentido contrario a las agujas del reloj, a una velocidad de   radianes por segundo y cuya representación en el plano complejo es el de la figura 1.
8604.gif

Según la fórmula de Euler:

8605.gif

donde:

8606.gif

En general, consideramos un vector de módulo distinto a la unidad y con un argumento de valor

8607.gif, cuya parte real viene dada por la expresión:

8609.gif

siendo denominado como fasor el vector fijo:  8610.gif

8611.gif

(ver figura 2)

8612.gif

Figura 2.

En las representaciones gráficas no se dibujan los vectores como giratorios, reflejándose únicamente el desfase relativo entre ellos, puesto que todos giran de forma síncrona con la velocidad angular  .

La figura 3 muestra la representación vectorial o fasorial de tres f.e.m. desfasadas en el espacio y que vienen dadas por las expresiones:

8613.gif

Dichos desfases se ponen de manifiesto en el diagrama de Fresnel que aparece en la figura 4 también representada.

8614.gif

figura 3                                                      figura 4

En la práctica que nos ocupa hemos representado el diagrama vectorial de la tensión de entrada (Ve), tensión en bornas del condensador (Vc), de la resistencia (VR) y de la bobina (V1); así como sus ángulos de desfase correspondientes respecto a la tensión de entrada ( c  ,  r  , y l  respectivamente), todo ello calculado para una frecuencia fija de entrada de valor f.

1.2.     DIAGRAMAS DE BODE


Cuando un sistema o circuito eléctrico es sometido a una variación de la frecuencia f, es interesante analizar cómo varía la respuesta de dicho circuito ( la impedancia Z(j ) o la admitancia Y(j ) del sistema ) cuando   varía desde 0 hasta  .

Un análisis gráfico de esta respuesta frecuencial se puede hacer de diversas formas: diagrama de Nyquist, método de Evans, diagrama de Black, … y mediante los diagramas de Bode.

Las curvas o diagramas de Bode permiten, por tanto, evaluar gráficamente la variación del módulo y del ángulo de cualquier función de transferencia H(j ) de un sistema en función de los distintos valores de j .

Estos diagramas son dos:

A)    Representa el módulo de la función de transferencia, es decir   H(j )  , en función de la frecuencia de entrada; o lo que es igual, la amplitud de la onda sinusiodal en función de dicha frecuencia (figura 5).

B)     Representa el argumento de la función de transferencia frente a la frecuencia de entrada; siendo dicho argumento el desfase existente entre la tensión de salida en bornas del condensador y la tensión de entrada al circuito (ver figura 6).

8615.gif

En ambas figuras el eje de abscisas se representa en escala logarítmica y el eje de ordenadas en escala lineal.

Vamos ahora a analizar cada uno de los conceptos que se representan en los ejes coordenados:

- Desfase: es el lapsus de tiempo que se produce entre el paso de dos ondas sinusoidales distintas por un mismo punto, como ya vimos en el apartado anterior en el diagrama de Fresnel. En este caso las ondas serán las tensiones de entrada y de salida.

- Amplitud: es el valor máximo de la onda sinusoidal. Se calcula mediante la expresión:
8616.gif

donde8617.gif es la función de transferencia del circuito considerado.

La amplitud se expresa en decibelios (dB), siendo el belio la unidad de medida de la efectividad de los amplificadores de línea y se define como el logaritmo de la potencia de salida Pa (ya amplificada), dividida por la potencia original (sin el amplificador) de salida Ps:

8618.gif

siendo Va y Vs las tensiones de salida amplificada y sin amplificar respectivamente.

Como el belio resultó ser una unidad demasiado grande, se comenzó a hablar sobre la ganancia de potencia en décimas de belio, el decibelio (dB), así tenemos:

8619.gif

- Frecuencia: se define como la inversa del período o bien como el cociente entre la pulsación o velocidad angular 8620.gif

8621.gif

Cada  vez que multiplicamos la frecuencia por 10, decimos que   ha aumentado una década, por tanto, para valores elevados de   el módulo del logaritmo tiene una pendiente de +20 dB/década o lo que es igual, una pendiente de +6 dB/octava.

En la práctica que nos ocupa, para realizar los diagramas de Bode hemos supuesto una tensión fija de entrada de valor Ve y hemos ido aumentando de manera progresiva el valor de la frecuencia f, leyendo en el osciloscopio los distintos valores que iba tomando la tensión en bornas de la bobina o inducción a medida que aumentaba la frecuencia; dichos valores coinciden con la amplitud de la onda sinusoidal correspondiente a la tensión de la inducción  (Vl).

También comprobamos el desfase existente entre las ondas de tensión de entrada y de salida. Esta medida se efectúa de forma directa en segundos y es necesario pasarla a grados para su utilización en el diagrama de Bode.

Todos estos datos se obtienen midiendo adecuadamente en el osciloscopio:
8622.gif

2.    PRIMERA PARTE: IDENTIFICACION VECTORIAL.


2.1. DESARROLLO PRÁCTICO:

Ya hemos explicado los tipos de diagrama, y pasamos a la ejecución de la primera parte de la práctica, consistente en construir el diagrama vectorial del circuito RLC dado. Lo que primero haremos será la parte práctica, midiendo en el laboratorio los valores de los potenciales y de los desfases de los distintos elementos mediante el osciloscopio, la tensión de entrada y el período sabiendo la frecuencia.

Los datos obtenidos fueron los siguientes:

8623.gif

Y el correspondiente diagrama vectorial práctico resultó:

8624.gif

2.2 DESARROLLO TEÓRICO:



Tomando los datos teóricos del circuito, y aplicando las fórmulas correspondientes:
8625.gif

8626.gif

La fórmula a utilizar es:

8627.gif

Que, una vez introducidos los datos se convierte en:

8628.gif

Operándolo:

8629.gif

Estos datos teóricos se pueden resumir en la siguiente tabla:

8630.gif

Y la representación del diagrama vectorial  teórico de nuestro circuito RLC resultará:
8631.gif

2.3 COMPARACIÓN:



Se puede comprobar que el resultado obtenido en el laboratorio se ajusta bastante al modelo teórico, existiendo pequeñas diferencias achacables a errores tanto de medición en los aparatos de lectura como de los propios componentes, siendo estos de todas formas despreciables.

3.    SEGUNDA PARTE: RESPUESTA FRECUENCIAL.



3.1.    REALIZACIÓN:



Para la función de trasferencia   8632.gif ) la función de entrada será 8633.gif la función de salida será 8634.gif Así

8635.gif

Operando esto nos queda:

8636.gif

siendo z el facto de amortiguación.
El modulo de H nos dará la relación entre los módulos de UC y U, y su argumento nos dará el desfase entre aquellos.

La tabla que refleja los datos tomados en el laboratorio  y so posteriordesarrollo es:
8637.gif

Y la tabla completa elaborada en Excel para su posterior representación es:

8638.gif

8639.gif

Con estos datos ya estamos en disposición de dibujar los diagramas de Bode.

3.2.    DIAGRAMAS DE BODE.



Las gráficas de los diagramas de Bode correspondientes son:

Para el diagrama de módulos:
8640.gif
Y el correspondiente diagrama para desfases es:

8641.gif

3.3.    COMENTARIOS.



Se puede observar que el comportamiento de la inducción o bobina se ajusta perfectamente al valor teórico para los primeros valores de frecuencias. Según se sube esta, la curva continúa ajustándose satisfactoriamente, alejándose del modelo teórico el desfase práctico para frecuencias altas.

El último valor de frecuencias considerado fue el de 1.000 KHz, puesto que para valores superiores no se pudo tomar lectura.

Consideramos que el desarrollo de la práctica se ha realizado adecuadamente, obteniéndose resultados coherentes y muy parecidos entre teoría y práctica.

4.    BIBLIOGRAFÍA.



- Apuntes del Bloque I : Teoría de Sistemas”;  Departamento de Sistemas Energéticos. (ETSIM). Edición Octubre 1995
- Física General” Francis W. Sears,  Mark W. Zemansky
- Electricidad y Magnetismo” Julio Palacios. Editorial Espasa-Calpe. Edición 1959
- Enciclopedia Microsoft  Encarta 99.
- Teoría de Circuitos ” (Vol I , Vol II). José Gómez Campomanes. Ed. Universidad de Oviedo.

Autor:

Alberto Jorge





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