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Presión de fluídos - Monografía



 
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Experimentación. Fluídos. Flujo laminar y turbulento. Teorema de Bernoulli. Densidad. Derivadas e integrales. Número de Mach



Hipótesis:



- La sustentación de un avión se ve afectada por diversos factores.


Objetivo general:



- Investigar si los factores se relacionan con una fórmula matemática.

Objetivos específicos:



- Demostrar matemáticamente el Teorema de Bernoulli.
- Investigar si el Teorema de Bernoulli se aplica a la sustentación

Fundamentación:



Enfocaremos el Proyecto de Investigación hacia el énfasis Profundización Matemática. A consecuencia tuvimos que acotar la hipótesis para que se relacionara con dicha materia.

Orientaremos nuestro estudio hacia:



- Fluidos:



- Características generales
- Clasificación
- Caudal - Ecuación de continuidad-
- Teorema de Bernoulli.
- Integrales
Luego de dicho estudio demostraremos matemáticamente el Teorema de Bernoulli.

Método:



Utilizaremos el método cualitativo basándonos en la documentación y la deducción racional.

Técnicas:



Emplearemos la documentación para aplicar la información obtenida en libros de física y matemática y aerodinámica.
Además con la deducción racional emplearemos el conocimiento de integrales para la demostración del teorema.

Cronograma 2005:


6416.gif

Recursos Humanos:



Además contaremos con la ayuda técnica y teórica de los profesores del trayecto específico y el énfasis

Recursos Materiales:


6417.gif

Investigación:



Fluidos:



Se aplica al cuerpo o sustancia cuyas moléculas poseen poca cohesión, es decir, están muy separadas entre sí, moviéndose libremente (gas) o deslizándose (líquido), por lo que toma la forma del lugar físico al que está contenido.

Flujo laminar:



Las pequeñas porciones de fluido se mueven ordenadamente, manteniendo una estructura de capas regulares que no se mezclan entre sí.

Flujo Turbulento:



Porciones de fluidos que se mueven desordenadamente y no mantienen una estructura de capas regulares; mezclándose entre sí.

Podemos distinguir claramente estos dos tipos de flujos al observar un cigarrillo encendido sobre un cenicero. Vemos que al principio el humo asciende suavemente en una fina columna sin entremezclarse; pero luego, en un punto más alto la columna se rompe y el humo se difunde en aire circundante de manera irregular y retorcida. La parte lisa de este flujo se llama laminar y la parte arremolinada, turbulento.
Características generales del flujo de los fluidos.

El flujo de los fluidos puede ser:



Estacionario o no estacionario.



El flujo es estacionario si cada pequeña región de fluido que pasa por un determinado punto lo hace con la misma velocidad que todas las partículas que pasaron antes por ese mismo punto; siendo lo contrario para un flujo no estacionario.

Rotacional o irrotacional.



El flujo de un fluido es irrotacional si el elemento de fluido en un punto dado no tiene una velocidad angular neta, alrededor de dicho punto; siendo rotacional cuando si existe una velocidad angular neta.

Compresible o incompresible.



Un fluido es compresible cuando al variar la presión su volumen también varía notablemente mientras que es incompresible cuando sucede lo contrario.

Viscoso o no viscoso.



La viscosidad es una propiedad que al deslizar una capa de fluido sobre otra, aparece un tipo de fricción que afecta el movimiento del líquido y que implica una pérdida de energía y varia según la temperatura. (Ejemplo: Glicerina, alquitrán o miel).Siendo lo contrario para un fluido no viscoso.

Con el fin de simplificar el estudio del teorema de Bernoulli trabajaremos con un fluido ideal que cumple con las siguientes características
- Estacionario
- Irrotacional
- Incompresible
- No viscoso.

Caudal. Ecuación de continuidad.



Caudal (Q):

es la magnitud asociada al volumen del líquido que en un intervalo de tiempo pasa por la sección de un tubo (por ejemplo).

Q = V/ t

La ecuación de continuidad expresa que la velocidad de un fluido incompresible que circula por un tubo es inversamente proporcional a la sección del tubo y establece que cuando el fluido es ideal, el caudal se mantiene constante.

Si la velocidad del fluido en el tubo es v, en un lapso t, las partículas a la entrada habrán avanzado una longitud l =v. t, y lo mismo habrán recorrido las partículas a la salida. Si S es la sección del tubo, entonces, el volumen V de líquido renovado en ese tiempo es:
6418.gif

Si la sección se reduce para que salga el mismo volumen de líquido que entra, la velocidad del fluido en la sección angosta debe ser mayor que en la sección ancha, entonces:

6419.gif

Pero el producto S. v va a valer lo mismo sea cualesquiera los puntos que me tome dentro del fluido

6420.gif

Resumiendo:

6421.gif

La ecuación de continuidad y el caudal lo utilizaremos para la demostración del teorema de Bernoulli.

Teorema de Bernoulli:


El teorema de Bernoulli relaciona presión, altura y velocidad de un fluido ideal, y demuestra que no se pueden modificar independientemente una de la otra, sino que están determinados por la energía mecánica del sistema.

Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería. Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V, al cabo de cierta t, el fluido ocupará una nueva posición dentro de la cañería.
Sobre el extremo inferior, el fluido ejerce una fuerza, que puede expresarse:
6422.gif

Y está aplicada en el sentido del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido ejerce una fuerza sobre la posición V que puede expresarse:

6423.gif

Y está aplicada en sentido contrario del flujo.
Es decir el trabajo de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre la porción del fluido puede expresarse como:
6424.gif

Como es un fluido ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un t es igual que el que pasa por el punto 2 en el mismo t (conservación del caudal).
Por lo tanto:
6425.gif

Pero el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la 6426.gif

Entonces:

6427.gif

Considerando que la densidad ( )del fluido es:

6428.gif

podemos adaptar la expresión para demostrar que:

6429.gif

como los puntos 1 y 2 pueden ser cualesquiera Bernoulli demostró que las variables siempre varían manteniendo una cierta cantidad constante:

Integrales :


La integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el área.
El área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado igual a la unidad que caben en la región, pero esta definición es totalmente inadecuada por ejemplo para el círculo de radio 1 que tiene como área el número irracional .
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f,a,b)recibirá el nombre de integral de f sobre

La idea que ampara la definición que vamos a dar se indica en la figura .
6431.gif

representa el área total de los rectángulos que contienen la región R (f,a,b)
Definición de Partición.
sea a < b. recibe el nombre de partición del intervalo a, b toda colección finita de puntos de a, b , de los cuales uno es a y otro es b.

Definición:


Supongamos que F es acotada sobre 6434.gif es una partición de 6435.gif . Sea

6436.gif

la suma de f para P, designada por L (f,P) se define asignando:

6437.gif

la suma superior de F para P, designada por U (f, P), se define estipulando:

6438.gif

la región R(f,a,b) es demasiado irrazonable para merecer que le se le asigne un área. Entonces nos disponemos:

Definición de Integrales:
Una función f acotada sobre 6435.gif es integrable sobre6435.gifsi sup 6439.gifes una partición de 6440.gif

es una partición de 6441.gif

Este número común recibe el nombre de integral de f sobre 6435.gify se denota

6442.gif

6443.gif recibe el nombre de signo integral.

Los números a y b reciben el nombre de límites de integración inferior y superior.

La integral 6442.gifrecibe el nombre de área de R (f, a, b) cuando
6444.gif

Primitiva de una función 6445.gif

Sea: 6446.gifuna función

Decimos que F es primitiva o antiderivada de f si y solo sí 6447.gif

Observación:



- si F es primitiva de f, entonces 6448.gif

- 6449.gif también es una primitiva de f.

Teorema fundamental de cálculo:



Sea: 6450.gif

F integrable en 6451.gif
Sea 6452.gif

Entonces: 6453.gif

Regla de Barrow:

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Número de mach:



En los aviones que vuelan a grandes velocidades, los fenómenos de compresibilidad tienen gran importancia, es interesante expresar la velocidad en función del número de Mach ya que éste sirve para evaluar si los fenómenos debidos al cambio de densidad del aire, compresibilidad, tienen o no mucha importancia, es decir, si son despreciables.
Se define el número de Mach por la siguiente ecuación:

6455.gif

donde V es la velocidad de la corriente libre de aire y s la velocidad del sonido.

Teorema de Bernoulli:



El teorema de Bernoulli establece que la suma de la presión estática debido al peso, y la presión dinámica debida a la velocidad, deben ser siempre constante.
Toda partícula de aire está dotada de PRESIÓN y VELOCIDAD. Si una partícula aumenta su velocidad, la presión disminuye y viceversa, pero la suma siempre debe ser constante.

Transformaciones adiabáticas:



Si una masa gaseosa sufre una transformación de forma que la cantidad de energía interna permanece invariable, la transformación de éste tipo se verifica:

6456.gif, ó entre los estados 1 y 2 que 6457.gif

En donde es una constante que depende únicamente del gas, y se denomina coeficiente adiabático, representando el coeficiente entre calor específico del gas a presión constante, y el calor específico del gas a volumen constante.
Para el aire, el valor de es aproximadamente1, 4.
La ecuación anterior refiriéndola a densidades, en vez de volúmenes, la podemos escribir:
6458.gif

Teorema de Bernoulli.



Consideremos un fluido en movimiento; cada partícula tendrá una trayectoria determinada, si tomamos un tubo formado por esas trayectorias o líneas de corriente, y vemos que ocurre dentro , podremos deducir el teorema de Bernoulli.
Aislemos la longitud, que puede ser tan pequeña como queramos y sean S y S’ las superficies del tubo en los extremos, y v y v + v, las velocidades correspondientes en esas secciones.

6459.gif

Vamos a estudiar las fuerzas a que se ve sometida la masa limitada por el tubo de corriente y las secciones S y S’.
Sobre la cara S, el resto del fluido a la izquierda, ejercerá una presión p perpendicular a la cara, sobre la S’ el resto de fluido a la derecha ejercerá una presión 6460.gif
Las fuerzas que actúan sobre esa masa, tomando como sentido positivo hacia la derecha (sentido de la velocidad), serán:

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La longitud del tubo l la podemos hacer tan pequeña como queramos, luego la haremos tan pequeña como sea necesario para que se pueda considerar que las secciones S y S’ son iguales, quedará entonces:

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El volumen que ocupa la masa que estamos considerando, si S es igual a S’, será el volumen de un prisma:

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Y la masa será 6464.gif

La aceleración a que está sometida esa masa, por definición la aceleración, será:

6465.gif

sustituyendo los valores hallados en la ecuación fundamental de la dinámica
Fuerza= masa. Aceleración. (F= m.a)
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quedará dividiendo por S y teniendo en cuenta que por definición

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Esta es la expresión del teorema de Bernoulli en forma diferencial; en ella existen las variables p, y V.

Ecuación de Bernoulli para fluido compresible:
Para el aire a latos números de Mach, por encima de 0,5 ó 0,6, no se puede considerar la velocidad ctte.
Entonces nos encontramos con:
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Tiene tres variables y no es posible integrar (a) a menos que dispongamos de otra integración entre ellas.
Si consideramos que el aire es un conductor y un radiador muy malo del calor, y que las transformaciones ocurren muy rápidamente, podemos considerar que no hay intercambio de calor entre las diferentes regiones, es decir que el fenómeno es adiabático y por tanto se verifica la ley del proceso adiabático
6570.gif

Utilizando esta ecuación y 6571.gif

Podemos realizar la integración y obtener:

6572.gif

Que es la expresión del teorema de Bernoulli para fluidos compresibles.
Para obtener dicha ecuación podemos proceder como sigue:

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integrando:

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entonces:

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Conclusión:



Este año basamos nuestra investigación en la sustentación de un avión y los factores que la afectan, junto con el Teorema de Bernoulli. Dicho proceso fue costoso ya desde sus inicios fue un desafío y no debíamos perder el espíritu investigador para no olvidar nuestro objetivo, concluir el proyecto.
Nuestro método, basado en la documentación y en la deducción racional nos proporcionó datos bibliográficos de suma importancia, de cualquier modo éstos nos llevaron a cometer un error crucial, llegamos a un punto de nuestra investigación que nos dimos cuenta que el teorema estudiado se basaba en flujos incompresibles y como nuestro análisis fue con el aire necesitábamos una ecuación de Bernoulli para flujos compresibles.
La solución de nuestro problema fue hallada en las integrales y el estudio fue agudizándose a medida que avanzábamos en el proyecto , llegando al fin a la demostración matemática.
La sustentación es el empuje hacia arriba de las moléculas de aire a causa de una menor presión del aire en la superficie superior del ala. A consecuencia, el diseño aerodinámico hace que el aire que fluye por encima de la superficie del ala deba recorrer una mayor distancia que el que viaja por debajo. Por lo tanto, el aire por sobre el perfil tiene mayor velocidad que el que pasa po abajo, y, según indica el Teorema de Bernoulli, es mayor la presión por debajo que por encima de ala.
En consecuencia se produce una fuerza ascendencial dinámica que ayuda a sostener el avión, y cuánto mayor sea la superficie del ala mayor será la fuerza.
Mayor distancia, menor presión, mayor velocidad.

6576.gif

menor distancia, mayor presión, menor velocidad.
Asimismo, llegamos a corroborar nuestra hipótesis, la sustentación se ve afectada por la velocidad de las moléculas de aire, asi como también por la presión de las mismas.
6577.gif

esta ecuación es lo que afirma nuestra hipótesis ya que las únicas variables presentes son la presióny la velocidad porque es una constante dependiente del gas y otra constante que es la densidad del fluido.
Entonces vemos que la presión +velocidad es una constante.
Finalmente podemos concluir que hemos llegado a cumplir los objetivos con presición y a corroborar nuestra hipótesis sintiéndons conformes y satisfechos por este motivo.

Bibliografía:



- A. ISODORO CARMONA(1983) Aerodinámica y actuaciones del avión- Editorial Paraninfo
- AUTORES VARIOS (2000) - Polimodal Física II Editorial Santillana
- DUFFOUR GUSTAVO (2001) Funciones Funciones Editorial Tradinco S.A.
- LEXUS EDITORES (2000) - Enciclopedia Sapiens del conocimiento Universal. Editorial Clasa
- Manual del piloto privado unidad 1 (Fotocopia) - Gentileza del Aeroclub los 4 vientos.-
- MICHAEL.SPIVAK (1996) Calculus- Cálculo infinitesimal- Editorial Reverté.
- RESNIK (1986, novena edición). Física parte1. Editorial CECSA
- TIPLER (1987) - Física Preuniversitaria Tomo I. Editorial Reverté S.A

Autor:

Cecilia Santucho





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