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Estructuras aeronaúticas parte 4 - Monografía



 
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TRAZADO DEL DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES



Para el trazado del diagrama del esfuerzo cortante se procede similarmente como se hizo para los momentos flexores, pero solamente se consideran las fuerzas verticales a un lado del cuerpo.Procederemos a explicar el método utilizando el mismo cuerpo anterior.

Imaginemos que recorremos el cuerpo desde “A” hacia “B” mirando las fuerzas que tenemos detrás ,también podemos elaborar una tabla  que nos permita gráficar  en un eje coordenado en el que en el eje “y” colocaremos en una escala conveniente los esfuerzos cortantes y en el eje “x” las longitudes del cuerpo

1421.gif
Parados en “A” tenemos la única fuerza vertical q = p/2 ,a medida que caminamos sobre el cuerpo hasta un poco antes de L/2 continua detrás nuestro la misma fuerza con signo positivo de acuerdo al criterio de signos.
Parados justo a una distancia x = L/2 desde “A” tenemos que el esfuerzo de corte es q = p/2 - p  ya que en este punto detrás queda también ahora la fuerza p. Si continuamos hasta llegar a “B” tendremos mirando siempre hacia atrás
q=p/2 - p + p/2 = 0
Si graficamos estos valores obtenemos el diagrama que se muestra +Q y -Q.

Se puede observar la sencillez para elaborar estos diagramas.Este en especial nos indica que en el punto en el que actúa la fuerza p es la mas critica.

5.4-ESFUERZOS NORMALES


Los esfuerzos normales también llamados axiles son producidos por las fuerzas exteriores dirigidas a lo largo del cuerpo (barras), estos esfuerzos producen tracción (estiramientos) o compresión (acortamientos).
Para ponerlos en evidencia utilizaremos el cuerpo cargado que se muestra procediendo de la misma forma que se realizo para los anteriores esfuerzos.

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Planteando las ecuaciones de equilibrio únicamente para las fuerzas en “x” tenemos :
14201.gif F x = 0                     RAX -  p =  0

De esta ecuación determinamos que  RAX=  p

Para saber que esfuerzo interno se produce dentro del cuerpo cortamos imaginariamente a través de la sección AA a una distancia de L/4 desde “o”,como se hizo anteriormente eliminando la parte derecha del cuerpo ,reemplazándolo por el esfuerzo interno incógnita N a determinar con las ecuaciones de equilibrio.
Como se muestra en el esquema.

14201.gif F x = 0  1423.gif

De aquí se deduce que el esfuerzo interno N = p.

CRITERIO DE SIGNOS



Para los esfuerzos normales el criterio de signos adoptado es positivo para las fuerzas que tienden a comprimir el cuerpo y negativa para las fuerzas que tienden a traccionarlo.

TRAZADO DEL DIAGRAMA DE ESFUERZOS NORMALES



Representando en un eje coordenado cartesiano con eje “y ” a los esfuerzos normales N en una escala conveniente, y sobre el eje de las “x” la longitud del cuerpo, procedemos a caminar sobre el cuerpo yendo de izquierda a derecha observando las fuerzas horizontales detrás.Para el cuerpo anterior, parados en “A” tenemos RAX cuya magnitud se determino que es p.Si continuamos hasta la distancia de L/2 únicamente tenemos  a p con sentido positivo,al pasar L/2 se incluye la fuerza p de sentido negativo ,si continuamos no aparece ninguna otra fuerza hasta completar la longitud total.
El diagrama de esfuerzos normales es el mostrado .

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 EJEMPLO 1:



RESOLVER



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Que método gráfico se utiliza para determinar la resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes ?
Que es un sistema de fuerzas colineales ?
Que es un vector axil ?
Cuantas clases de restricciones modeliza un vinculo de segunda especie.
Explique el teorema de Varignon , y su utilización.
Encontrar las reacciones en la estructura mostrada.

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Explique el teorema de Varignon , y su utilización.
Que es un sistema de fuerzas colineales no concurrentes ?
Que método gráfico se utiliza para determinar la resultante de un sistema de fuerzas  concurrentes ?
Que es un vector axil ?
Cuantas clases de restricciones modeliza un vinculo de tercera especie.
Encontrar las reacciones en la estructura mostrada.

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5-5 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS



En todas las estructuras analizadas con anterioridad los vínculos utilizados fueron tales que el cuerpo permanecía inmóvil bajo las cargas aplicadas o cualquier estado de cargas .En estos casos se dice que el cuerpo estaba completamente vinculado.
Las reacciones que incluían estos vínculos correspondían a tres incógnitas que se determinaban resolviendo las ecuaciones de equilibrio .En todos estos casos las reacciones estaban ESTATCAMENTE DETERMINADAS ,es decir podía calcular las reacciones.
Cuando la cantidad de incógnitas de las reacciones de apoyo coincide con la cantidad de ecuaciones de equilibrio que puedo plantear y el cuerpo se encuentra estático se llaman estructuras ISOSTATICAS  que son todas las que hemos estudiado hasta ahora.

Ahora analicemos el cuerpo que se muestra con dos fuerzas P y S y sustentada con dos vínculos de segunda especie.
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Estos apoyos proporcionan mayores restricciones que las necesarias para impedir que la estructura se mueva con las cargas dadas o bajo cualquier otra condición de carga. El diagrama de cuerpo libre nos muestra las reacciones incógnitas.
Como solo contamos con tres ecuaciones de equilibrio , tenemos mas incógnitas que ecuaciones y no pueden determinarse todas las incógnitas.
Ax +Bx - s =0                 Ay +By -p = 0                  -p d/2 + Byd=0

Las reacciones Ax y Bx son desconocidas .Se dice que estas reacciones están ESTATICAMENTE INDETERMINADAS.
Cuando la cantidad de incógnitas de las reacciones de apoyo son mayores que la cantidad de ecuaciones de equilibrio que puedo plantear y el cuerpo se encuentra estático se llaman estructuras HIPERESTATICAS. Estas incógnitas se pueden resolver considerando las deformaciones que sufren los cuerpos , y se estudia en cursos superiores como Resistencia de Materiales, en este caso se dice que la estructura es Hiperestaticamente determinada. En general casi todas las estructuras reales son hiperestaticas ,pero siempre se pueden modelizar como isostaticas para obtener una primera solución aproximada.

Si suponemos ahora la estructura sustentada como se muestra.
1430.gif
Esta claro que las restricciones de estos apoyos no son suficientes para impedir que la estructura se mueva horizontalmente. Se dice en este caso que la estructura se encuentra parcialmente vinculada.
El diagrama de cuerpo libre nos muestra que los apoyos dan origen a dos reacciones incógnitas ,como cuento con tres ecuaciones a resolver ,una de las ecuaciones no se satisface.
Ay + By  - p = 0                                - p d/2 + By d ==0                       s=0

Lo que nos indica que el cuerpo no se encuentra en equilibrio para todos los estados de carga.
La carga que provoca el movimiento del cuerpo es la carga S. Si esta carga no existiera la estructura estaría estática y tendría dos reacciones que determinar y tres ecuaciones para plantear, en este caso puedo determinar perfectamente las reacciones :
Ay + By  - p = 0                                - p d/2 + By d ==0

Cuando la cantidad de incógnitas de las reacciones de apoyo es menor que la cantidad de ecuaciones de equilibrio que puedo plantear y el cuerpo  se encuentra estático a  estas estructuras se las conoce como  estructuras HIPOSTATICAS. Debe quedar claro que las ecuaciones de equilibrio que utilizo para determinar las reacciones las utilizo porque la estructura se encuentra en equilibrio ,no las puedo utilizar si la estructura no se encuentra estática.

Concluimos que si un cuerpo esta completamente vinculado y las reacciones en sus apoyos están estáticamente determinadas tendremos tantas incógnitas como ecuaciones de equilibrio.
Sin embargo la condición anterior es necesaria pero no suficiente es decir  que aun coincidiendo el numero de incógnitas con el de las ecuaciones no garantiza que el cuerpo este completamente vinculado ,estático o inmovilizado o que todas las reacciones en sus apoyos estén estáticamente  determinadas .
Por ejemplo la estructura que se muestra cuenta con tres vínculos de primera especie que me producen tres incógnitas coincidente con el numero de ecuaciones de equilibrio que puedo plantear, pero estos vínculos no son los apropiados para evitar que la estructura se desplace horizontalmente. Todas las rectas de acción de las reacciones son paralelas.
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Otro ejemplo es la estructura que se muestra en el que las rectas de acción de las reacciones son concurrentes en el punto “o” como se observa el cuerpo puede rotar respecto a este punto.

Concluimos que un cuerpo se encuentra inapropiadamente vinculado  siempre que sus apoyos ,aun generando tres reacciones ,estén dispuestos de forma que sus rectas de acción sean CONCURRENTES o PARALELAS.
Cuando la cantidad de incógnitas de las reacciones de los vínculos  es igual que la cantidad de ecuaciones de equilibrio que puedo plantear y el cuerpo  no se encuentra estático a  estas estructuras se las conoce como INDETERMINADAS .

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5.5.1 CONSIDERACIONES GENERALES


Siempre hemos estudiado las estructuras planas, es decir estructuras en el plano XY ,y contamos con tres ecuaciones de equilibrio que podemos plantear y las reacciones incógnitas debían ser tres para encontrar las soluciones. Estas estructuras tiene la posibilidad de tres movimientos :a lo largo del eje X ,a lo largo del eje Y , y de rotar respecto a un punto.

A cada posibilidad de movimiento se le llama GRADO DE LIBERTAD de un cuerpo. Y las estructuras planas, entonces, tienen TRES GRADOS DE LIBERTAD (tres posibilidades de movimiento).

Para que se encuentren en equilibrio debemos restringirle los tres grados de movimiento vinculándolo, generándome las tres reacciones incógnitas a determinar.

La realidad es, sin embargo, que nosotros existimos en tres dimensiones ,ancho ,alto ,y profundidad y todo lo que observamos a nuestro alrededor tiene tres dimensiones ,por lo que los cuerpos reales como un avión se puede mover en tres direcciones y rotar alrededor de tres ejes. Las estructuras son espaciales, es decir existen en tres planos X,Y y Z , y se pueden desplazar a lo largo de  estos tres ejes y pueden rotar al rededor de los tres ejes, por lo que toda estructura real (espacial) tiene 3 posibilidades de desplazamiento en dirección de los ejes y 3 posibilidades de rotación alrededor de ellos, es decir tienen  SEIS GRADOS DE LIBERTAD (seis posibilidades de movimiento) ,para  que estén estáticos debemos vincularlos de forma de restringir los seis grados de libertad, generándome seis incógnitas a determinar que las puedo resolver planteando seis ecuaciones de equilibrio estático.
Bajo esta generalización ,siguen siendo validas las denominaciones anteriores dadas para las estructuras planas ,aplicadas a las estructuras espaciales como Hiperestaticas ,Isostaticas ,o Hipostáticas.

El siguiente cuadro resume lo expuesto en este capitulo para las estructuras estáticas:

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 5-6 ANALISIS  ESTATICO



Este análisis cinemático es lo primero a realizar para asegurarnos  de que una estructura bidimensional se encuentra completamente estática y que las reacciones (incógnitas) son estáticamente determinadas .Debemos verificar que las reacciones en sus apoyos incluyan tres y solo tres incógnitas y que los apoyos estén dispuestos de forma que las rectas de acción de las reacciones no sean todas paralelas o concurrentes en un punto.
EJEMPLOS :Estructuras estáticamente indeterminadas.
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5-7 MOMENTOS CONCENTRADOS



Si sobre un cuerpo actúan dos fuerzas como las indicadas en la figura F y F que tienen el misma intensidad ,recta de acción paralelas y sentidos opuestos. La resultante de este sistema es nula pero la suma de los momentos respecto a un punto dado no es nulo. Aunque las fuerzas no trasladen al cuerpo lo hacen rotar.

Para determinar el momento que este par de fuerzas produce lo calculamos respecto al punto “o” ,una fuerza F se encuentra a una distancia d + r  de “o” y  la otra fuerza  F se encuentra a una distancia de r.

M = F.(d + r) - F . r
Si aplicamos distributiva tenemos :
M = F. d  + F . r - F. r = F. d

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Es decir que el momento que produce un par de fuerza respecto a cualquier punto ,aun fuera del cuerpo, es igual a la intensidad de una de las fuerza por la distancia que los separa.

El único movimiento que se le puede impartir a un cuerpo por la aplicación de un par de fuerzas es el de rotación. En los tres casos que siguen ,el momento producido al cuerpo es el mismo si la intensidad de las fuerzas es la misma y las distancias entre ellas es igual ,independientemente del ángulo que formen las fuerzas.
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Como el par de fuerzas de los tres cuerpos producen el mismo efecto sobre el cuerpo ,se dice que forman un sistema equivalente.
Supongamos que un par de fuerzas aplicado al cuerpo que se muestra provoca el giro respecto a “o”  podemos reemplazar el par de fuerzas por el momento que produce.

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También decimos en este caso, que el par de fuerzas aplicadas al cuerpo, es equivalente a un momento concentrado.


5-8 DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA Y UN PAR



Supongamos que tenemos una fuerza F actuando sobre un cuerpo en el punto A y por alguna razón queremos aplicarla en el punto “o” .La fuerza F puede desplazarse a lo largo de su recta de acción debido a que es un vector axil ,pero no podemos desplazarla a un punto “o” fuerza de su recta de acción sin modificar su efecto.
Sin embargo podemos unir dos fuerzas una igual a F y otra igual a - F en “o” ,como se muestra, por lo visto anteriormente -F y la fuerza F aplicada en A forman un par con un momento M = F.d
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Es decir que una fuerza F aplicada en A produce el mismo efecto a un cuerpo que una fuerza F aplicada en “o” y un momento concentrado M. Ambos sistemas son equivalentes.


ANALISIS DE ESTRUCUTRAS CARGADAS CON MOMENTOS CONCENTRADOS



Supongamos que estudiamos la estructura que se muestra y queremos realizar los diagramas de esfuerzos internos.

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Las reacciones sobre la viga se encuentran con las ecuaciones de equilibrio similarmente como se ha realizado con todas las estructuras anteriores.
De la misma forma en estructuras en las que actúan pares de fuerzas se puede reemplazar sus efectos por su equivalente que es un momento.

EJEMPLO


Queremos determinar los diagramas de esfuerzos de la estructura mostrada cargada como se indica :
Es una viga sometida a un momento si reemplazamos los apoyos por las reacciones desconocidas ,como  únicamente actúa un par,las reacciones
deben constituir otro par :

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Las reacciones se muestran con sus sentidos.El trazado del diagrama es similar a los realizados.

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Parados en x = 3 m tenemos que el momento es producido por la fuerza de 50 Kg. . 3 m = 150  Kg.m En ese punto esta aplicado el momento que tiene sentido positivo provocando un salto en el diagrama de valor 250 Kgm. Cerrandose luego el diagrama .

El diagrama de esfuerzos de corte no presenta ninguna diferencia con los procedimientos anteriores.

Como conclusión los momentos aplicados a las estructuras producen un salto en los diagramas de momentos flexores positivo o negativo según la convención de signos adoptada para los momentos flexores.
Como la reacciones horizontales es nula el diagrama de esfuerzos normales es nulo y no se gráfica.

RECUÉRDESE :


Los momentos concentrados producen saltos positivos o negativos ( dependiendo del criterio de signos para los momentos flexores) en el diagrama de momentos flexores.
El diagrama de esfuerzos de corte y normal no se modifica.

EJEMPLOS :


Los siguientes ejemplos cualitativos , indican los diagramas de esfuerzos de corte y momento flexor . Los diagramas pueden variar en función de las magnitudes de las fuerzas.
ESTRUCTURA 1

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

MOMENTOS FLEXORES

ESFUERZOS DE CORTE

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ESTRUCTURA 2

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

MOMENTOS FLEXORES

ESFUERZOS DE CORTE
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ESTRUCTURA 3

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

MOMENTOS FLEXORES

ESFUERZOS DE CORTE

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EJERCICIOS :


1) Voladizo
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2) Analizar las estructuras ,las longitudes se encuentran en pulgadas(in) y las fuerzas en libras (lb.).

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Que ángulo forma con el eje “x” , el vector A = 3 i + 5 j .
Que representa la resultante de un sistema de fuerzas?
Con cuantos parámetros se define un vector axil?
Cuantos grados representa  /6?
Que expresa el Teorema de Varignon?
Que estudia la estática?
EJERCICIO: Determinar los diagramas de M , Q , y N .
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5 .9 - MODELIZACION DE LAS FUERZAS



En todo el estudio de la estructuras estáticas se modelizo a las fuerzas y reacciones (cargas), como concentradas en un punto pequeño sobre la estructura ,representadas por un vector. Esta es una modelización razonable para ciertas fuerzas ,pero puede resultar que esta simplificación del problema  sea muy idealizada  para otro tipo de acciones sobre las estructuras ,o que se pretenda mayor exactitud.
Por mas pequeño que sea el punto de aplicación de las fuerzas siempre habrá una superficie sobre la que se aplica la fuerza ,en el caso de los problemas espaciales. Cuando se quiere estudiar por ejemplo el ala de un avión ,la fuerza que actúa sobre la misma es la fuerza aerodinámica sustentadora que consiste en un conjunto de pequeñas fuerzas que se encuentran aplicadas sobre toda la superficie y se puede representar como péquenos vectores dirigidos hacia arriba.
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En el dibujo solo se muestran algunas componentes de la sustentación sobre un ala ,cuando estudiamos el problema desde el punto de vista estático podemos modelizar al ala como un cuerpo bidimensional ,en que todas las fuerzas se encuentran ubicadas sobre una línea si lo observamos desde la parte frontal. A esta modelización de las fuerzas se las llama FUERZAS DISTRIBUIDAS.

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En el dibujo podemos ver como se pueden distribuir las fuerzas de sustentación  encima del ala. Estas fuerzas describen una ley de variación que depende del ángulo de ataque del ala ,velocidad del aire ,forma del perfil ,superficies hipersustentadoras ,etc.
Se puede determinar la resultante de todas las fuerzas porque constituyen un sistema de fuerzas paralelas ,utilizando los métodos visto en los primero capítulos o si se conoce la ley de variación se puede calcular mediante la aplicación de Integrales de áreas ,ya que el efecto total de estas fuerzas es la suma de todas ellas.

Una vez calculada su resultante se procede a determinar las reacciones considerando la raíz del ala como un empotramiento al fuselaje ,con las mismas ecuaciones de equilibrio estudiadas para estructuras planas.
Luego se pueden construir los diagramas de esfuerzos utilizando los mismos procedimientos estudiados que resultan muy laboriosos ,o  se pueden realizar conociendo algunas reglas simples y aplicando derivadas.
Otra modelización que se adopto fue que las fuerzas permanecían invariables durante el análisis estático ,es decir durante el transcurso del tiempo el modulo o la dirección o su punto de aplicación eran constantes .El estudio desde este punto se realiza dentro del área de la  aeroelasticidad.

Una ultima aclaración es que las fuerzas distribuidas pueden ser producidas por diversos factores como la presion hidrostática , temperatura ,otros cuerpos ,ráfagas, sustentación ,resistencia al avance , peso de los cuerpos , etc.

NUCLEO TEMATICO  6 :



Coordenadas del centro de fuerzas paralelas ,centro de gravedad de sólidos y figuras planas ,baricentro de una superficie y de una chapa plana .Momento estático de una superficie respecto de un eje .Momento de inercia .Teorema de Steiner .Momento de inercia polar .Radio de giro .Momento resistente.


6 - CENTRO DE UN SISTEMA DE FUERZAS



FOTOCOPIAS SCHAUM RESISTENCIA DE MATERIALES
Capitulo 7



RESOLVER


Determinar el centro de gravedad ,radio de giro y el momento de inercia respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de los siguientes cuerpos :

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RECTANGULO



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TRIANGULO



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CIRCULO



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1)    Determinar el momento de inercia de la figura sombreada respecto al eje XG que pasa por su centro de gravedad.
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Respuesta = 393 cm4

Determinar el momento de inercia de la figura respecto a un eje horizontal que pase por el centro de gravedad.

1456.gif

Respuesta = 70 cm4

Determinar el momento de inercia de la figura respecto a un eje horizontal que pase por el centro de gravedad.

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Autor:

Paula Emilce





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